时光在不经意中流逝,新的工作即将到来。此时就该对这段时间的工作来进行一次总结。通过总结,可以提高自己的工作技巧,您知道工作总结需要注意哪些方面?为满足您的需求,笔稿范文网小编特地编辑了“小编推荐:必修二数学知识点总结思维导图(1850字)”,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。
对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路。
比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径。
斜边是指直角三角形中最长的那条边,也指不是构成直角的那条边。在勾股定理中,斜边称作“弦”。
三角形斜边长等于根号下两直角边的平方和,即斜边c=√(a^2+b^2)
解答过程如下:
(1)在直角三角形中满足勾股定理—在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。数学表达式:a²+b²=c²
(2)a²+b²=c²求c,因为c是一条边,所以就是求大于0的一个根。即c=√(a²+b²)。
在几何中,斜边是直角三角形的最长边,与直角相对。 直角三角形的斜边的长度可以使用毕达哥拉斯定理找到,该定理表示斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。 例如,如果其中一方的长度为3(平方,9),另一方的长度为4(平方,16),那么它们的正方形加起来为25。斜边的长度为平方根25,即5。
分层抽样
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法
1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。
2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准
(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
分层的比例问题
(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
(1)定义:
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系:
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理):
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)
二二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
三二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)
1、函数的零点不是点:
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是一个数字,而不是一个坐标。
2、对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)、f(x)在[a,b]上连续;
(2)、f(a)·f(b)
(3)、在(a,b)内存在零点。
这是零点存在的一个充分条件,但不必要。
3、对于定义域内连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续不断,再看是否有f(a)·f(b)
四判断函数零点个数的常用方法
1、解方程法:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点。
2、零点存在性定理法:
利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)
3、数形结合法:
转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数。
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
1、直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围。
2、分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决。
3、数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解。
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
11三视图:
正视图:从前往后
侧视图:从左往右
俯视图:从上往下
22画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
33直观图:斜二测画法
44斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3空间几何体的表面积与体积
(一)空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
2圆柱的表面积3圆锥的表面积
4圆台的表面积
5球的表面积
(二)空间几何体的体积
1柱体的体积
2锥体的体积
3台体的体积
4球体的体积
高二数学必修二知识点:直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义:平面是无限延展的
2平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。
3三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L=>Lα
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们公共点P叫做垂足。
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
高中数学必修二知识点总结:直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;当时,为同心圆.
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
应用:判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.
符号语言:
公理2的作用:
①它是判定两个平面相交的方法.
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点.
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.
公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.
公理3及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质:既不平行,又不相交.
③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.
求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示:aαa∩α=Aa‖α
(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α‖β
相交——有一条公共直线.α∩β=b
5、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行线面平行
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.
(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)
7、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
9、空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为.
②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为.②平面的垂线与平面所成的角:规定为.
③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”.
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
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化学键和分子结构
1、正四面体构型的分子一般键角是109°28‘,但是白磷(P4)不是,因为它是空心四面体,键角应为60°。
2、一般的物质中都含化学键,但是稀有气体中却不含任何化学键,只存在范德华力。
3、一般非金属元素之间形成的化合物是共价化合物,但是铵盐却是离子化合物;一般含氧酸根的中心原子属于非金属,但是AlO2-、MnO4-等却是金属元素。
4、含有离子键的化合物一定是离子化合物,但含共价键的化合物则不一定是共价化合物,还可以是离子化合物,也可以是非金属单质。
5、活泼金属与活泼非金属形成的化合物不一定是离子化合物,如AlCl3是共价化合物。
6、离子化合物中一定含有离子键,可能含有极性键(如NaOH),也可能含有非极性键(如Na2O2);共价化合物中不可能含有离子键,一定含有极性键,还可能含有非极性键(如H2O2)。
7、极性分子一定含有极性键,可能还含有非极性键(如H2O2);非极性分子中可能只含极性键(如甲烷),也可能只含非极性键(如氧气),也可能两者都有(如乙烯)。
8、含金属元素的离子不一定都是阳离子。如AlO2-、MnO4-等都是阴离子。
9、单质分子不一定是非极性分子,如O3就是极性分子。
晶体结构
1、同主族非金属元素的氢化物的熔沸点由上而下逐渐增大,但NH3、H2O、HF却例外,其熔沸点比下面的PH3、H2S、HCl大,原因是氢键的存在。
2、一般非金属氢化物常温下是气体(所以又叫气态氢化物),但水例外,常温下为液体。
3、金属晶体的熔点不一定都比分子晶体的高,例如水银和硫。
4、碱金属单质的密度随原子序数的增大而增大,但钾的密度却小于钠的密度。
5、含有阳离子的晶体不一定是离子晶体,,也可能是金属晶体;但含有阴离子的晶体一定是离子晶体。
6、一般原子晶体的熔沸点高于离子晶体,但也有例外,如氧化镁是离子晶体,但其熔点却高于原子晶体二氧化硅。
7、离子化合物一定属于离子晶体,而共价化合物却不一定是分子晶体。(如二氧化硅是原子晶体)。
8、含有分子的晶体不一定是分子晶体。如硫酸铜晶体(CuSO4•5H2O)是离子晶体,但却含有水分子。
氧化还原反应
1、难失电子的物质,得电子不一定就容易。比如:稀有气体原子既不容易失电子也不容易得电子。
2、氧化剂和还原剂的强弱是指其得失电子的难易而不是多少(如Na能失一个电子,Al能失三个电子,但Na比Al还原性强)。
3、某元素从化合态变为游离态时,该元素可能被氧化,也可能被还原。
4、金属阳离子被还原不一定变成金属单质(如Fe3+被还原可生成Fe2+)。
5、有单质参加或生成的反应不一定是氧化还原反应,例如O2与O3的相互转化。
6、一般物质中元素的化合价越高,其氧化性越强,但是有些物质却不一定,如HClO4中氯为+7价,高于HClO中的+1价,但HClO4的氧化性却弱于HClO。因为物质的氧化性强弱不仅与化合价高低有关,而且与物质本身的稳定性有关。HClO4中氯元素化合价虽高,但其分子结构稳定,所以氧化性较弱。
常见物质的颜色
1、有色气体单质:F2(浅黄绿色)、Cl2(黄绿色)?、O3(淡蓝色)
2、其他有色单质:Br2(深红色液体)、I2(紫黑色固体)、S(淡黄色固体)、Cu(紫红色固体)、Au(金黄色固体)、P(白磷是白色固体,红磷是赤红色固体)、Si(灰黑色晶体)、C(黑色粉末)
3、无色气体单质:N2、O2、H2、希有气体单质
4、有色气体化合物:NO2
5、黄色固体:S、FeS2(愚人金,金黄色)、、Na2O2、Ag3PO4、AgBr、AgI
6、黑色固体:FeO、Fe3O4、MnO2、C、CuS、PbS、CuO(最常见的黑色粉末为MnO2和C)
7、红色固体:Fe(OH)3、Fe2O3、Cu2O、Cu
8、蓝色固体:五水合硫酸铜(胆矾或蓝矾)化学式:
9、绿色固体:七水合硫酸亚铁(绿矾)化学式:
10、紫黑色固体:KMnO4、碘单质。
11、白色沉淀:Fe(OH)2、CaCO3、BaSO4、AgCl、BaSO3、Mg(OH)2、Al(OH)3
12、有色离子(溶液)Cu2+(浓溶液为绿色,稀溶液为蓝色)、Fe2+(浅绿色)、Fe3+(棕黄色)、MnO4—(紫红色)、Fe(SCN)2+(血红色)
13、不溶于稀酸的白色沉淀:AgCl、BaSO4
14、不溶于稀酸的黄色沉淀:S、AgBr、AgI
无机部分:
纯碱、苏打、天然碱、口碱:Na2CO3
小苏打:NaHCO3
大苏打:Na2S2O3
石膏(生石膏):CaSO4.2H2O
熟石膏:2CaSO4·.H2O
莹石:CaF2
重晶石:BaSO4(无毒)
碳铵:NH4HCO3
石灰石、大理石:CaCO3
生石灰:CaO
熟石灰、消石灰:Ca(OH)2
食盐:NaCl
芒硝:Na2SO4·7H2O(缓泻剂)
烧碱、火碱、苛性钠:NaOH
绿矾:FaSO4·7H2O
干冰:CO2
明矾:KAl(SO4)2·12H2O
漂白粉:Ca(ClO)2、CaCl2(混和物)
泻盐:MgSO4·7H2O
胆矾、蓝矾:CuSO4·5H2O
双氧水:H2O2
皓矾:ZnSO4·7H2O
硅石、石英:SiO2
刚玉:Al2O3
水玻璃、泡花碱、矿物胶:Na2SiO3
铁红、铁矿:Fe2O3
磁铁矿:Fe3O4
黄铁矿、硫铁矿:FeS2
铜绿、孔雀石:Cu2(OH)2CO3
菱铁矿:FeCO3
赤铜矿:Cu2O
波尔多液:Ca(OH)2和CuSO4
石硫合剂:Ca(OH)2和S
玻璃的'主要成分:Na2SiO3、CaSiO3、SiO2
过磷酸钙(主要成分):Ca(H2PO4)2和CaSO4
重过磷酸钙(主要成分):Ca(H2PO4)2
天然气、沼气、坑气(主要成分):CH4
水煤气:CO和H2
硫酸亚铁铵(淡蓝绿色):Fe(NH4)2(SO4)2溶于水后呈淡绿色
光化学烟雾:NO2在光照下产生的一种有毒气体
王水:浓HNO3与浓HCl按体积比1:3混合而成。
铝热剂:Al+Fe2O3或其它氧化物。
尿素:CO(NH2)2
有机部分:
氯仿:CHCl3
电石:CaC2
电石气:C2H2(乙炔)
酒精、乙醇:C2H5OH
氟氯烃:是良好的制冷剂,有毒,但破坏O3层。
醋酸:冰醋酸、食醋CH3COOH
裂解气成分(石油裂化):烯烃、烷烃、炔烃、H2S、CO2、CO等。
甘油、丙三醇:C3H8O3
焦炉气成分(煤干馏):H2、CH4、乙烯、CO等。
石炭酸:苯酚
蚁醛:甲醛HCHO
蚁酸:甲酸HCOOH
葡萄糖:C6H12O6
果糖:C6H12O6
蔗糖:C12H22O11
麦芽糖:C12H22O11
淀粉:(C6H10O5)n
硬脂酸:C17H35COOH
油酸:C17H33COOH
软脂酸:C15H31COOH
草酸:乙二酸HOOC—COOH使蓝墨水褪色,强酸性,受热分解成CO2和水,使KMnO4酸性溶液褪色。
1.内容:在同温同压下,同体积的气体含有相等的分子数。
即“三同”定“一等”。
2.推论:
(1)同温同压下,V1/V2=n1/n2
(2)同温同体积时,p1/p2=n1/n2=N1/N2
(3)同温同压等质量时,V1/V2=M2/M1
(4)同温同压同体积时,M1/M2=ρ1/ρ2
注意:
(1)阿伏加德罗定律也适用于混合气体。
(2)考查气体摩尔体积时,常用在标准状况下非气态的物质来迷惑考生,如H2O、SO3、已烷、辛烷、CHCl3、乙醇等。
(3)物质结构和晶体结构:考查一定物质的量的物质中含有多少微粒(分子、原子、电子、质子、中子等)时常涉及稀有气体He、Ne等单原子分子,Cl2、N2、O2、H2双原子分子。胶体粒子及晶体结构:P4、金刚石、石墨、二氧化硅等结构。
(4)要用到22.4L·mol-1时,必须注意气体是否处于标准状况下,否则不能用此概念;
(5)某些原子或原子团在水溶液中能发生水解反应,使其数目减少;
(6)注意常见的的可逆反应:如NO2中存在着NO2与N2O4的平衡;
(7)不要把原子序数当成相对原子质量,也不能把相对原子质量当相对分子质量。
(8)较复杂的化学反应中,电子转移数的求算一定要细心。如Na2O2+H2O;Cl2+NaOH;电解AgNO3溶液等。
高考化学基本知识
化学史
(1)分析空气成分的第一位科学家——拉瓦锡;
(2)近代原子学说的创立者——道尔顿(英国);
(3)提出分子概念——何伏加德罗(意大利);
(4)候氏制碱法——候德榜(1926年所制的“红三角”牌纯碱获美国费城万国博览会金奖);
(5)金属钾的发现者——戴维(英国);
(6)Cl2的发现者——舍勒(瑞典);
(7)在元素相对原子量的测定上作出了卓越贡献的我国化学家——张青莲;
(8)元素周期律的发现,
(9)元素周期表的创立者——门捷列夫(俄国);
(10)1828年首次用无机物氰酸铵合成了有机物尿素的化学家——维勒(德国);
(11)苯是在1825年由英国科学家——法拉第首先发现;
(12)德国化学家——凯库勒定为单双健相间的六边形结构;
(13)镭的发现人——居里夫人。
(14)人类使用和制造第一种材料是——陶
高考化学知识点
掌握基本概念
1.分子
分子是能够独立存在并保持物质化学性质的一种微粒。
(1)分子同原子、离子一样是构成物质的基本微粒.
(2)按组成分子的原子个数可分为:
单原子分子如:He、Ne、Ar、Kr…
双原子分子如:O2、H2、HCl、NO…
多原子分子如:H2O、P4、C6H12O6…
2.原子
原子是化学变化中的最小微粒。确切地说,在化学反应中原子核不变,只有核外电子发生变化。
(1)原子是组成某些物质(如金刚石、晶体硅、二氧化硅等原子晶体)和分子的基本微粒。
(2)原子是由原子核(中子、质子)和核外电子构成的。
3.离子
离子是指带电荷的原子或原子团。
(1)离子可分为:
阳离子:Li+、Na+、H+、NH4+…
阴离子:Cl–、O2–、OH–、SO42–…
(2)存在离子的物质:
①离子化合物中:NaCl、CaCl2、Na2SO4…
②电解质溶液中:盐酸、NaOH溶液…
③金属晶体中:钠、铁、钾、铜…
4.元素
元素是具有相同核电荷数(即质子数)的同—类原子的总称。
(1)元素与物质、分子、原子的区别与联系:物质是由元素组成的(宏观看);物质是由分子、原子或离子构成的(微观看)。
(2)某些元素可以形成不同的单质(性质、结构不同)—同素异形体。
(3)各种元素在地壳中的质量分数各不相同,占前五位的依次是:O、Si、Al、Fe、Ca。
5.同位素
是指同一元素不同核素之间互称同位素,即具有相同质子数,不同中子数的同一类原子互称同位素。如H有三种同位素:11H、21H、31H(氕、氘、氚)。
6.核素
核素是具有特定质量数、原子序数和核能态,而且其寿命足以被观察的一类原子。
(1)同种元素、可以有若干种不同的核素—同位素。
(2)同一种元素的各种核素尽管中子数不同,但它们的质子数和电子数相同。核外电子排布相同,因而它们的化学性质几乎是相同的。
7.原子团
原子团是指多个原子结合成的集体,在许多反应中,原子团作为一个集体参加反应。原子团有几下几种类型:根(如SO42-、OHˉ、CH3COOˉ等)、官能团(有机物分子中能反映物质特殊性质的原子团,如—OH、—NO2、—COOH等)、游离基(又称自由基、具有不成价电子的原子团,如甲基游离基·CH3)。
8.基
化合物中具有特殊性质的一部分原子或原子团,或化合物分子中去掉某些原子或原子团后剩下的原子团。
(1)有机物的官能团是决定物质主要性质的基,如醇的羟基(—OH)和羧酸的羧基(—COOH)。
(2)甲烷(CH4)分子去掉一个氢原子后剩余部分(· CH3)含有未成对的价电子,称甲基或甲基游离基,也包括单原子的游离基(· Cl)。
9.物理性质与化学性质
物理变化:没有生成其他物质的变化,仅是物质形态的变化。
化学变化:变化时有其他物质生成,又叫化学反应。
化学变化的特征:有新物质生成伴有放热、发光、变色等现象
化学变化本质:旧键断裂、新键生成或转移电子等。二者的区别是:前者无新物质生成,仅是物质形态、状态的变化。
10.溶解性
指物质在某种溶剂中溶解的能力。例如氯化钠易溶于水,却难溶于无水乙醇、苯等有机溶剂。单质碘在水中溶解性较差,却易溶于乙醇、苯等有机溶剂。苯酚在室温时仅微溶于水,当温度大于70℃时,却能以任意比与水互溶(苯酚熔点为43℃,70℃时苯酚为液态)。利用物质在不同温度或不同溶剂中溶解性的差异,可以分离混合物或进行物质的提纯。
在上述物质溶解过程中,溶质与溶剂的化学组成没有发生变化,利用简单的物理方法可以把溶质与溶剂分离开。还有一种完全不同意义的溶解。例如,石灰石溶于盐酸,铁溶于稀硫酸,氢氧化银溶于氨水等。这样的溶解中,物质的化学组成发生了变化,用简单的物理方法不能把溶解的物质提纯出来。
11.液化
指气态物质在降低温度或加大压强的条件下转变成液体的现象。在化学工业生产过程中,为了便于贮存、运输某些气体物质,常将气体物质液化。液化操作是在降温的同时加压,液化使用的设备及容器必须能耐高压,以确保安全。
12.金属性
元素的金属性通常指元素的原子失去价电子的能力。元素的原子越易失去电子,该元素的金属性越强,它的单质越容易置换出水或酸中的氢成为氢气,它的最高价氧化物的水化物的碱性亦越强。元素的原子半径越大,价电子越少,越容易失去电子。在各种稳定的同位素中,铯元素的金属性最强,氢氧化铯的碱性也最强。除了金属元素表现出不同强弱的金属性,某些非金属元素也表现出一定的金属性,如硼、硅、砷、碲等。
13.非金属性
是指元素的原子在反应中得到(吸收)电子的能力。元素的原子在反应中越容易得到电子。元素的非金属性越强,该元素的单质越容易与H2化合,生成的氢化物越稳定,它的最高价氧化物的水化物(含氧酸)的酸性越强(氧元素、氟元素除外)。
已知氟元素是最活泼的非金属元素。它与氢气在黑暗中就能发生剧烈的爆炸反应,氟化氢是最稳定的氢化物。氧元素的非金属性仅次于氟元素,除氟、氧元素外,氯元素的非金属性也很强,它的最高价氧化物(Cl2O7)的水化物—高氯酸(HClO4)是已知含氧酸中最强的一种酸
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1.静电力做功的特点:静电力做功与路径无关,或者说:电荷在电场中沿一闭合路径移动,静电力做功为零.
2.电势能概念:电荷在电场中具有势能,叫电势能.电荷在某点的电势能,等于把电荷从该点移动到零势能位置时,静电力做的功,用EP表示.
3.静电力做功与电势能变化的关系:①静电力做正功,电势能减小;静电力做负功,电势能增加.②关系式:WAB=EPA-EPB.
4.单位:J(宏观能量)和eV(微观能量),它们间的换算关系为:1eV=1.6×10-19J.
5.特点:
①系统性:由电荷和所在电场共有;
②相对性:与所选取的零点位置有关,通常取大地或无穷远处为电势能的零点位置;
③标量性:只有大小,没有方向,其正负的物理含义是:若EP>0,则电势能比在参考位置时大,若EP
6.公式
Ep=WAO=q·φA=qUA(Ep表示电势能,φA表示A点的电势):
当φA>0时,q>0,则Ep>0,q
当φA0,则Ep0.
Wab=Epa-Epb
位于点电荷电场中Ep=kQq/r
7.电场力做功跟电势能变化关系:
WAB>0,△Ep
WAB0,电场力做负功,电势能增加~其它形式的能转化成电势能。
顺着电场线,A→B移动,若为正电荷,则WAB>0,则UAB=ΦA-ΦB>0,则Φ↓,则正Ep↓;
若为负电荷,则WAB0,则Φ↓,则负Ep↑。
逆着电场线,B→A移动,若为正电荷,则WBA
若为负电荷,则WBA>0,则UBA=ΦB-ΦA
静电力做的功等于电势能的减少量。
8.电势能大小判断
1.场源电荷判断法:离场源正电荷越近,试探正电荷的电势能越大,试探负电荷的电势能越小
2.电场线法:正电荷顺着电场线的方向移动时,电势能逐渐减小,逆着电场线的方向移动时,电势能逐渐增大
负电荷顺着电场线的方向移动时,电势能逐渐增大,逆着电场线的方向移动时,电势能逐渐减小
3.做功判断法:无论正负电荷,电场力做正功,电荷的电势能就一定减小,电场力做负功,电荷的电势能就一定增加
零势能处可任意选择,但在理论研究中,常取无限远处或大地的电势能为0.
取无穷远为电势零:①正电荷产生的电场中Φ>0,远离场源电荷Φ↓:移动正检验电荷W>0,Ep↓;
移动负检验电荷W
②.负电荷产生的电场中Φ
移动负检验电荷W>0,Ep↓。
注:1.只在电场力作用下:
(1)电场力做正功,电势能减少,动能增加。即:电能转化为其它形式能(动能)
(2)电场力做负功,电势能增加,动能减少。即:其它形式能(动能)转化为电能
2.不只受电场力作用:
(1)电场力做正功,电势能减少,动能如何变化不确定。
(2)电场力做负功,电势能增加,动能如何变化不确定。
电势能是标量。
1.水平方向速度:Vx=Vo
2.竖直方向速度:Vy=gt
3.水平方向位移:x=Vot
4.竖直方向位移:y=gt2/2
5.运动时间t=(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2)
6.合速度Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2,合速度方向与水平夹角β:tgβ=Vy/Vx=gt/V0
7.合位移:s=(x2+y2)1/2,位移方向与水平夹角α:tgα=y/x=gt/2Vo
8.水平方向加速度:ax=0;竖直方向加速度:ay=g
注:(1)平抛运动是匀变速曲线运动,加速度为g,通常可看作是水平方向的匀速直线运与竖直方向的自由落体运动的合成;
(2)运动时间由下落高度h(y)决定与水平抛出速度无关;
(3)θ与β的关系为tgβ=2tgα;
(4)在平抛运动中时间t是解题关键;(5)做曲线运动的物体必有加速度,当速度方向与所受合力(加速度)方向不在同一直线上时,物体做曲线运动。
一、 基本概念
1、 质点:在研究物体运动的过程中,如果物体的大小和形状在所研究问题中可以忽略时,把物体简化为一个点,认为物体的质量都集中在这个点上,这个点称为质点。
2、 参考系:任何运动都是相对于某个参照物而言的,这个参照物称为参考系。
3、 坐标系:定量的描述运动,采用坐标系。
4、 时刻和时间间隔:1.钟表指示的一个读数对应着某一个瞬间,就是时刻,时刻在时间轴上对应某一点。两个时刻之间的间隔称为时间,时间在时间轴上对应一段。
2.时间和时刻的单位都是秒,符号为s,常见单位还有min,h
5、 路程:物体运动轨迹的长度
6、 位移:表示物体位置的变动。可用从起点到末点的有向线段来表示,是矢量。 位移的大小小于或等于路程。
7、 速度:物理意义:表示物体位置变化的快慢程度。
分类 平均速度:物体通过的位移与所用的时间之比。
瞬时速度:某一时刻(或某一位置)的速度。
与速率的区别和联系 速度是矢量,而速率是标量
平均速度=位移/时间,平均速率=路程/时间 瞬时速度的大小等于瞬时速率
8、 加速度 物理意义:表示物体速度变化的快慢程度
定义: 物体的加速度等于物体速度变化(vt—v0)与完成这一变化所用时间的比值 a=(vt—v0)/t (即等于速度的变化率)a不由△v、t决定,而是由F、m决定。 方向:与速度变化量的方向相同,与速度的方向不确定。(或与合力的方向相同)
二、 运动图象
1、x—t图象(即位移图象)
(1)、纵截距表示物体的初始位置。
(2)、倾斜直线表示物体作匀变速直线运动,水平直线表示物体静止,曲线表示物体作变速直线运动。
(3)、斜率表示速度。斜率的绝对值表示速度的大小,斜率的正负表示速度的方向。
2、v—t图象(速度图象)
(1)、纵截距表示物体的初速度。
(2)、倾斜直线表示物体作匀变速直线运动,水平直线表示物体作匀速直线运动,曲线表示物体作变加速直线运动(加速度大小发生变化)。
(3)、纵坐标表示速度。纵坐标的绝对值表示速度的大小,纵坐标的正负表示速度的方向。
(4)、斜率表示加速度。斜率的绝对值表示加速度的大小,斜率的正负表示加速度的方向。
(5)、面积表示位移。横轴上方的面积表示正位移,横轴下方的面积表示负位移。
三、实验:用打点计时器测速度
1、两种打点计时器的异同点
电磁打点计时器: 振针 复写纸 工作电压为4-6V 电源的频率50 Hz时,每隔0.02 s打一次点
电火花打点计时器: 电火花 墨粉盒 电压220V 电源的频率50 Hz时,每隔0.02 s打一次点
2、纸带分析;
(1)、从纸带上可直接判断时间间隔,用刻度尺可以测量位移。
(2)、可计算出经过某点的瞬时速度
(3)、可计算出加速度
1.牛顿第一运动定律(惯性定律):物体具有惯性,总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止
2.牛顿第二运动定律:F合=ma或a=F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致}
3.牛顿第三运动定律:F=-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方,平衡力与作用力反作用力区别,实际应用:反冲运动}
4.共点力的平衡F合=0,推广 {正交分解法、三力汇交原理}
5.超重:FN>G,失重:FN
6.牛顿运动定律的适用条件:适用于解决低速运动问题,适用于宏观物体,不适用于处理高速问题,不适用于微观粒子〔见第一册P67〕
注:平衡状态是指物体处于静止或匀速直线状态,或者是匀速转动。
独立做题。要独立地(指不依赖他人),保质保量地做一些题。题目要有一定的数量,不能太少,更要有一定的质量,就是说要有一定的难度。任何人学习数理化不经过这一关是学不好的。独立解题,可能有时慢一些,有时要走弯路,有时甚至解不出来,但这些都是正常的,是任何一个初学者走向成功的必由之路。
物理过程。要对物理过程一清二楚,物理过程弄不清必然存在解题的隐患。题目不论难易都要尽量画图,有的画草图就可以了,有的要画精确图,要动用圆规、三角板、量角器等,以显示几何关系。画图能够变抽象思维为形象思维,更精确地掌握物理过程。有了图就能作状态分析和动态分析,状态分析是固定的、死的、间断的,而动态分析是活的、连续的。
一、重要概念和规律
(一)、几何光学基本概念和规律
1、基本概念
光源发光的物体.分两大类:点光源和扩展光源.点光源是一种理想模型,扩展光源可看成无数点光源的集合.光线——表示光传播方向的几何线.光束通过一定面积的一束光线.它是温过一定截面光线的集合.光速——光传播的速度。光在真空中速度最大。恒为C=3×108m/s。丹麦天文学家罗默第一次利用天体间的大距离测出了光速。法国人裴索第一次在地面上用旋转齿轮法测出了光这。实像——光源发出的光线经光学器件后,由实际光线形成的.虚像——光源发出的光线经光学器件后,由发实际光线的延长线形成的。本影——光直线传播时,物体后完全照射不到光的暗区.半影——光直线传播时,物体后有部分光可以照射到的半明半暗区域.
2.基本规律
(1)光的直线传播规律先在同一种均匀介质中沿直线传播。小孔成像、影的形成、日食、月食等都是光沿直线传播的例证。
(2)光的独立传播规律光在传播时虽屡屡相交,但互不扰乱,保持各自的规律继续传播。
(3)光的反射定律反射线、人射线、法线共面;反射线与人射线分布于法线两侧;反射角等于入射角。
(4)光的折射定律折射线、人射线、法织共面,折射线和入射线分居法线两侧;对确定的两种介质,入射
角(i)的正弦和折射角(r)的正弦之比是一个常数.介质的折射串n=sini/sinr=c/v。全反射条件:
①光从光密介质射向光疏介质;
②入射角大于临界角A,sinA=1/n。
(5)光路可逆原理光线逆着反射线或折射线方向入射,将沿着原来的入射线方向反射或折射.
3.常用光学器件及其光学特性
(1)平面镜点光源发出的同心发散光束,经平面镜反射后,得到的也是同心发散光束.能在镜后形成等大的、正立的虚出,像与物对镜面对称。
(2)球面镜凹面镜有会聚光的作用,凸面镜有发散光的作用.
(3)棱镜光密煤质的棱镜放在光疏煤质的环境中,入射到棱镜侧面的光经棱镜后向底面偏折。隔着棱镜看到物体的像向项角偏移。棱镜的色散作用复色光通过三棱镜被分解成单色光的现象。
(4)透镜在光疏介质的环境中放置有光密介质的透镜时,凸透镜对光线有会聚作用,凹透镜对光线有发散作用.透镜成像作图利用三条特殊光线。成像规律1/u+1/v=1/f。线放大率m=像长/物长=|v|/u。说明:
①成像公式的符号法则——凸透镜焦距f取正,凹透镜焦距f取负;实像像距v取正,虚像像距v取负。
②线放大率与焦距和物距有关。
(5)平行透明板光线经平行透明板时发生平行移动(侧移).侧移的大小与入射角、透明板厚度、折射率有关。
4.简单光学仪器的成像原理和眼睛
(1)放大镜是凸透镜成像在。u
(2)照相机是凸透镜成像在u>2f时的应用.得到的是倒立缩小施实像。
(3)幻灯机是凸透镜成像在f
(4)显微镜由短焦距的凸透镜作物镜,长焦距的透镜作目镜所组成。物体位于物镜焦点外很靠近焦点处,经物镜成实像于目镜焦点内很靠近焦点处。再经物镜在同侧形成一放大虚像(通常位于明视距离处)。
(5)望远镜由长焦距的凸透镜作物镜,辕焦距的〕透镜作目镜所组成。极远处至物镜的光可看成平行光,经物镜成中间像(倒立、缩小、实像)于物镜焦点外很靠近焦点处,恰位于目镜焦点内,再经目镜成虚像于极远处(或明视距离处)。
(6)眼睛等效于一变焦距照相机,正常人明视距约25厘米。明视距离小子25厘米的近视眼患者需配戴凹透镜做镜片的眼镜;明视距离大于25厘米的远视25者需配戴凸透镜做镜片的眼镜。
(二)物理光学——人类对光本性的认识发展过程
(1)微粒说(牛顿)基本观点认为光像一群弹性小球的微粒。实验基础光的直线传播、光的反射现象。困难问题无法解释两种媒质界面同时发生的反射、折射现象以及光的独立传播规律等。
(2)波动说(惠更斯)基本观点认为光是某种振动激起的波(机械波)。实验基础光的干涉和衍射现象。
①个的干涉现象——杨氏双缝干涉实验
条件两束光频率相同、相差恒定。装置(略)。现象出现中央明条,两边等距分布的明暗相间条纹。解释屏上某处到双孔(双缝)的路程差是波长的整数倍(半个波长的偶数倍)时,两波同相叠加,振动加强,产生明条;两波反相叠加,振动相消,产生暗条。应用检查平面、测量厚度、增强光学镜头透射光强度(增透膜).
②光的衍射现象——单缝衍射(或圆孔衍射)
条件缝宽(或孔径)可与波长相比拟。装置(略)。现象出现中央最亮最宽的明条,两边不等距发表的明暗条纹(或明暗乡间的圆环)。困难问题难以解释光的直进、寻找不到传播介质。
(3)电磁说(麦克斯韦)基本观点认为光是一种电磁波。实验基础赫兹实验(证明电磁波具有跟光同样的性质和波速)。各种电磁波的产生机理无线电波自由电子的`运动;红外线、可见光、紫外线原子外层电子受激发;x射线原子内层电子受激发;γ射线原子核受激发。可见光的光谱发射光谱——连续光谱、明线光谱;吸收光谱(特征光谱。困难问题无法解释光电效应现象。
(4)光子说(爱因斯坦)基本观点认为光由一份一份不连续的光子组成每份光子的能量E=hν。实验基础光电效应现象。装置(略)。现象①入射光照到光电子发射几乎是瞬时的;
②入射光频率必须大于光阴极金属的极限频率ν。;
③当ν>v。时,光电流强度与入射光强度成正比;
④光电子的最大初动能与入射光强无关,只随着人射光灯中的增大而增大。解释①光子能量可以被电子全部吸收.不需能量积累过程;
②表面电子克服金属原子核引力逸出至少需做功(逸出功)hν。
③入射光强。单位时间内入射光子多,产生光电子多;
④入射光子能量只与其频率有关,入射至金属表,除用于逸出功外。其余转化为光电子初动能。困难问题无法解释光的波动性。
(5)光的波粒二象性基本观点认为光是一种具有电磁本性的物质,既有波动性。又有粒子性。大量光子的运动规律显示波动性,个别光子的行为显示粒子性。实验基础微弱光线的干涉,X射线衍射。
二、重要研究方法
1.作图锋几何光学离不开光路图。利用作图法可以直观地反映光线的传播,方便地确定像的位置、大小、倒正、虚实以及成像区域或观察范围等.把它与公式法结合起来,可以互相补充、互相验证。
2.光路追踪法用作图法研究光的传播和成像问题时,抓住物点上发出的某条光线为研究对象。不断追踪下去的方法.尤其适合于研究组合光具成多重保的情况。
3.光路可逆法在几何光学中,一所有的光路都是可逆的,利用光路可逆原理在作图和计算上往在都会带来方便。
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